Μείζονα Πολύγωνα


Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της αξίας του Π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα, την επεξεργάσθηκε γύρω στο 250 π.Χ. ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης.[1] Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριάρχησε για πάνω από 1,000 χρόνια, και ως εκ τούτου το Π μερικές φορές αναφέρεται ως «Σταθερά του Αρχιμήδη».[2] Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του Π με σχέδιο σε κανονικό εξάγωνο μέσα και έξω από ένα κύκλο και διαδοχικά διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών, ώσπου έφτασε στην 96-όψη κανονικού πολυγώνου. Με τον υπολογισμό των μέτρων αυτών των πολυγώνων, απέδειξε ότι 223/71  < Π <  22/ 7 (3.1408 < Π < 3.142857).[3] Ενώ 1/7 = 0. 142857.  Γιατί όμως  22/7 ; Η απάντηση είναι η εξής : Ο κύκλος, που η περιφέρειά του διαιρείται σε 360 μοίρες, δέχεται 22 συνολικά εγγεγραμένα πολύγωνα.

  • 3γωνο – 120 μοίρες

Ο Νικόμαχος για την τριάδα λέγει ότι είναι : Καὶ νοῦς τις ἡ τριάς, καὶ εὐβουλίας καὶ συνέσεως αἰτία, καὶ γνῶσις, ἀριθμοῦ τὸ κυριώτατον, μουσικῆς τε πάσης κυρία καὶ σύστασις, καί γε καὶ γεωμετρίας ὅτι μάλιστα. Καὶ μὴν καὶ τῶν κατὰ ἀστρονομίαν καὶ οὐρανίων φύσιν τε καὶ γνῶσιν αὕτη τὸ κράτος ἔχει καὶ συνέχει καὶ εἰς οὐσίωσιν ἄγει. Καὶ ἡ ἀρετὴ δὲ πᾶσα ταύτης ἐξῆπται καὶ ἐκ ταύτης πρόεισιν. Διὰ ταῦτα αὐτοῖς ἡ τριὰς Κρονία καὶ Λατὼ καὶ Ἀμαλθείας κέρας, Ὀφίονά καὶ Θέτιν καὶ Ἁρμονίαν, Ἑκάταν τε καὶ Ἐράναν καὶ Χαριτίαν καὶ Μουσῶν Πολυμνίαν, Ἀΐδαν τε καὶ Λοξίαν, ἄρκτον, ἕλικα, καὶ ποτὶ βυθὸν οὐ δυομέναν, Δαματράμην τε καὶ Διοσκορίαν, καὶ Μῆτιν καὶ τριδύμην, Τρίτωνα, θαλασσοῦχον, Τριτογένειαν, Ἀχελῶον, Νάστιν, καὶ Ἀγυιόπεζαν Κουρητίδα, Κραταΐδα  Ἁρμονίαν, Συμβηνίαν, Γάμον, Γοργονίαν, Φορ κίαν, Τρίσαμον καὶ Λύδιον.[4]

  • 4γωνο – 90 μοίρες

Ο Νικόμαχος για την τετράδα λέγει ότι είναι : Η δὲ τετρὰς ἄλλη θεός, πολύθεος μᾶλλον δὲ πάνθεος· ἔστι γὰρ αὐτοῖς τῶν τε φυσικῶν ἀποτελεσμάτων πηγὴ καὶ κλειδοῦχος τῆς φύσεως. Ἀλλὰ καὶ τῆς κατὰ τὰ μαθήματα συστάσεώς τε καὶ διαμονῆς αὕτη προαγωγὸς καὶ αἰτία. Ἀλλὰ καὶ αὐτὴ φύσις καὶ αἰόλα ἐστὶν αὐτοῖς καὶ Ἡρακλῆς καὶ Ἔξαρ μα καὶ Ἀλκιμωτάτη καὶ Ἀρρενικὴ καὶ Ἀθήλυντος, Ἑρμῆς τε καὶ ῞Ηφαιστος καὶ Διόνυσος καὶ Σωρίτας, καὶ Μαιαδεὺς ἢ Μαιάδης (τῆς γὰρ Μαίας υἱὸς ἤτοι τῆς δυάδος ἡ τετράς) καὶ Ἐριούνιος καὶ Σῶκος καὶ Διάκτορος, καὶ Βασσαρεὺς καὶ Διμάτωρ, μητρὸς τετευχὼς δυάδος, Θηλύμορφός τε καὶ Ἔπανδρος καὶ ἀρρενουργὸς καὶ βακχασμὸν ἀνεγείρων καὶ ἁρμόνιτα ἢ Ἁρμονία, καὶ τῶν Μουσῶν ἡ Οὐρανία.[5]

 

  • 5γωνο – 72 μοίρες (Πεντάγωνο με τον τριπλό πεντάκτινο αστέρα) –

Ο Νικόμαχος για την πεντάδα λέγει ότι είναι :  Ανεικία γὰρ ἡ πεντὰς καὶ Ἀλλοίωσις καὶ Φάος καὶ Δικαιοσύνη, καὶ ἐλαχίστη ἀκρότης τῆς ζωότητος, καὶ Νέμεσις, καὶ Βουβάστια καὶ Δίκησις καὶ Ἀφροδίτη καὶ Γαμηλία καὶ Ἀνδρογυνία, καὶ Κυθέρεια, καὶ Ζωναία, καὶ Κυκλιοῦχος, καὶ Ἁμίθεος, καὶ Ζανὸς πύργος, καὶ Διδυμαία, καὶ Ἄξων ἑδραία. Ἄμβροτόν τε αὐτὴν ὑψηλολογοῦσι καὶ Παλλάδα, καὶ Κραδεᾶτιν καὶ Ἁγεμονίαν καὶ Ἀκρεῶτιν καὶ Ἀτάλαντον καὶ Ἄζυγα καὶ Ὀρθιᾶτιν, καὶ Μουσῶν Μελπομένην, καὶ ἀμειβομένην ὀπὶ καλῇ, καὶ μέσων μέσην καὶ Ἀκρότητα γονίμων.[6]

 

  • 6γωνο – 60 μοίρες (Εξάγωνο με τον τριπλό εξάκτινο αστέρα)

Ο Νικόμαχος για την εξάδα λέγει ότι είναι :  Ἡ δὲ ἑξὰς Εἶδος εἴδους αὐτῷ αἰτιολογεῖται, καὶ τῇ ψυχῇ μόνος ἀριθμῶν ἁρμόζων, καὶ Διάρθρωσις τοῦ παντὸς ψυχοποιὸς καὶ τῆς ζωτικῆς ἕξεως ἐμποιητική (παρὸ καὶ ἑξάς) καὶ Ἁρμονία καὶ Οὐλομέλεια καὶ κυρίως αὕτη μᾶλλον Ἀφροδίτη ζυγία τε καὶ γαμηλία καὶ Ἀνδρογυνία θεολογεῖται. Ἀλλὰ καὶ Ζυγῖτις καὶ Φιλοτησία καὶ Εἰρήνη καὶ Φιλία καὶ Ὑγεία, Ἄκμων τε καὶ Ἀλήθεια, καὶ Μοιρῶν δὲ Λάχεσιν αὐτὴν ποιοῦσι, καὶ ἀρχὴν καὶ ἥμισυ παντός, καὶ Ἑκατηβελέτιν, καὶ Τριοδῖτιν καὶ Διχρονίαν καὶ Περσείαν καὶ Τρίμορφον, καὶ Ἀμφιτρίτην, καὶ Ἀγχιδίκαν, καὶ Μουσῶν Θάλειαν, καὶ Πανάκειαν.[7]

  • 8γωνο – 45 μοίρες (Οκτάγωνο με τον τριπλό οκτάκτινο αστέρα)

Ο Νικόμαχος για την οκτάδα λέγει ότι είναι : Παναρμονίαν αὐτὴν προσκυνοῦσι, καὶ Καδμείαν Μητέρα τε καὶ Ῥέαν καὶ Θηλυποιὸν καὶ Κυβέλην, Κυβήβην τε καὶ Δινδύμην καὶ Πολιοῦχον, Ἔρωτά τε καὶ Φιλίαν, Μῆτιν, Ἐπίνοιαν, Ὀρείαν, Θέμιν, Νόμον, Ἠλιτομήναν καὶ τῶν Μουσῶν τὴν Εὐτέρπην.[8]

  • 10γωνο – 36 μοίρες

Ο Νικόμαχος για την δεκάδα λέγει ότι είναι : Η μέντοι δεκὰς αὕτη ἐστὶν αὐτοῖς τὸ Πᾶν, Θεὸς Ὑπέρθεος καὶ Θεὸς θεῶν · ἵνα γὰρ ᾖ αὐτοῖς πάντα ἡ δεκάς, προστιθέασι τοῖς τοῦ λόγου μέρεσι προσηγορίαν καὶ παραπλήρωμα. Τί δεῖ λέγειν ὡς ἐν αὐτῇ περιλαμβάνουσι τά τε στερεὰ καὶ τὰ ἐπίπεδα, ἄρτια, περισσά, ἀρτιο πέρισσα, τέλεια, πρῶτα καὶ ἀσύνθετα, ἰσότητα καὶ ἀνισότητα, τὰς δέκα σχέσεις, τὰ σφαιρικά, τὰ κυκλικά, γεννητικά, τελεστικά, ἐναρμόνια, τὰ τοιαῦτα, ἀλλ᾽ ὅπως αὐτοῖς Κόσμος ἡ δεκὰς καὶ Οὐρανός, Εἱμαρμένη, Αἰών, Κράτος, Πίστις, Ἀνάγκη, Ἄτλας, Ἀκάμας θεός, Φάνης, ῞Ηλιος, Οὐρανία, Μνήμη, Μνημοσύνη.[9]

 

  • 12γωνο – 30 μοίρες, 15γωνο – 24 μοίρες, 18γωνο – 20 μοίρες, 20γωνο – 18 μοίρες,
  • 24γωνο – 15 μοίρες, 30γωνο – 12 μοίρες, 36γωνο – 10 μοίρες, 40γωνο – 9 μοίρες,
  • 45γωνο – 8 μοίρες, 60γωνο – 6 μοίρες, 72γωνο – 5 μοίρες, 90γωνο – 4 μοίρες, 120γωνο – 3 μοίρες

Από αυτό το σύστημα των σε κύκλο 22 εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων απορρέουν οι μείζονες αριθμοί, ήτοι οι αριθοί 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

Όμως ο θείος Πρόκλος για τα είδη γραμμής λέγει αφενός ότι :

«ο Πλάτων έθεσε ότι τα απλούστατα και αρχοειδέστερα της γραμμής είδη είναι δύο, η ευθεία και η περιφερής, και ότι όλα τα άλλα είδη κατά μίξιν εκ τούτων υπάρχουν, όπως τα είδη που λέγονται ελικοειδή και υπάρχουν είτε στα επίπεδα είτε στα στερέα, και όσα είδη καμπυλών γραμών λαμβάνουν υπόσταση κατά τις τομες των στερεών. Και φαίνεται ότι κατά τον Πλάτωνα το σημείο φέρει μια εικόνα του Ενός, αν επιτρέπεται να πούμε κάτι τέτοιο. Γιατί και το Έν δεν έχει κανένα μέρος, όπως ακριβώς υποδεικνύει και ο Πλάτωνας στον Παρμενίδη. Επειδή, όμως, μετά το Έν υπάρχουν τρεις υποστάσεις, το πέρας, το άπειρο και το μικτό, μέσω αυτών των 3ων λαμβάνουν υπόσταση και τα είδη των γραμμών, των γωνιών και των σχημάτων. Και ανάλογο με το πέρας είναι η περιφέρεια, η περιφερόγρμμος γωνία και ο κύκλος εν επιπέδοις και η σφαίρα εν στερεοίς. Ανάλογο με το άπειρο είναι το ευθύ σε όλες τις κατηγορίες – γιατί απλώνεται σε όλες και εμφανίζεται σε κάθε κατηγορία με τον ανάλογο τρόπο. Ανάλογο με το εντός όλων των κατηγοριών μικτό το εκεί μικτό. Γιατί υπάρχουν μικτές γραμμές, όπως οι έλικες, και γωνίες, όπως η γωνία του ημικύκλιου και η κερατοειδής, και μικτά επίπεδα σχήματα όπως τα τμήματα(κυκλικοί τομείς)και οι αψίδες, και τα μικτά στερεά, όπως οι κώνοι, οι κύλινδροι και τα παρόμοια.»[10]

Αφετέρου ο Πρόκλος λέγει ότι :

«η περιφέρεια είναι ανάλογη προς το πέρας και έχει προς τις άλλες γραμμές την ίδια σχέση που έχει το πέρας προς όλα τα όντα. Γιατί μόνο αυτή ανάμεσα στις απλές γραμμές ορίζεται και σχήμα αποτελεί. Αντιθέτως η ευθεία ανήκει στο άπειρο. Δεν σταματά, λοιπόν, να επεκτείνεται επ’ απειρον. Και όπως όλα τα άλλα όντα προέρχονται από το πέρας και το άπειρο, έτσι και κάθε μικτό γένος γραμμών, επιπέδων και στερεών προέρχεται εκ του περιφερούς και του ευθέως. Για τον λόγο αυτό και η ψυχή προέλαβε κατ’ ουσία της το ευθύ και το περιφερές, προκειμένου να κατευθύνει πάσαν την εν τω Κόσμω συστοιχία  του απείρου και πάσα την πεπερασμένη φύση, δίνοντας υπόσταση στην πρόοδο τους με το ευθύ και στην επιστροφή τους με το περιφερές, οδηγώντας τα πάντα σε πλήθος με το ευθύ και συνάγοντας τα πάντα σε ένα με το περιφερές. Και όχι μόνον η ψυχή αλλά και εκείνος που έδωσε υπόσταση στην ψυχή και παρέδωσε αυτές τις δυνάμεις στην ψυχή έχοντας εν εαυτώ αμφότερων τις προτουργούς αιτίες. Γιατί έχοντας προλάβει την αρχή, τα μέσα και τα τέλη όλων γενικά των όντων, περατώνει τις ευθείες κινούμενος εκ φύσεως περιπορευόμενος, όπως λέγει ο Πλάτων. Γιατί με τις προνοητικές του ενέργειες προχωρά σε όλα και έχει επιστρέψει στον εαυτό του μένοντας στον εαυτό του κατά τρόπον ήθει. Μάλιστα η ευθεία είναι σύμβολο απαρεγκλίτου πρόνοιας και αδιαστρόφου και αχράντου και ανεκλείπτου και παντοδυνάμου και στα άντα παρούσας. Η περιφέρεια και το περιπορεύεσθαι είναι σύμβολο της ενέργειας της στον εαυτό της επιστρέφουσας & συγκεντρούμενης και προς εαυτήν συνελιττομένης και καθ’ εν νοερόν πέρας των όλων επικρατούσηςΑφού, λοιπόν, ο δημιουργικός νους εντός αυτών των δύο αρχών τοποθέτησε το ευθύ και το περιφερές, παρήγαγε δυο μονάδες αφ’ εαυτού, την μεν κατά το περιφερές ενεργούσα και των νοτικών ουσιών τελεσιουργό, την δε άλλη κατά το ευθύ και των αισθητών της γένεση παρεχόμενη. Επειδή δε η ψυχή μέση των νοητικών και των αισθητών είναι, καθόσον μεν συνάπτει τη νοητική φύση, κατά κύκλο ενεργεί, καθόσον δε στα αισθητά επιστατεί, κατά το ευθύ ποιείται την πρόνοια.»[11]

Συγκρατούμε παραφραστικώς ότι :

  1. κατά τον Πλάτωνα το σημείο φέρει μια εικόνα του Ενός.
  2. ανάλογο με το πέρας είναι η περιφέρεια, η περιφερόγραμμος γωνία και ο κύκλος εν επιπέδοις και η σφαίρα εν στερεοίς.
  3. η περιφέρεια είναι ανάλογη προς το πέρας, η ευθεία ανήκει στο άπειρο και κάθε μικτό γένος γραμμών, επιπέδων και στερεών προέρχεται εκ του περιφερούς και του ευθέως.
  4. η ευθεία, που είναι ανάλογο με το άπειρο, είναι σύμβολο απαρεγκλίτου πρόνοιας & αδιαστρόφου & αχράντου & ανεκλείπτου & παντοδυνάμου και στα πάντα παρούσας.
  5. Το περιπορεύεσθαι και η περιφέρεια, που είναι ανάλογο με το πέρας, είναι σύμβολο της ενέργειας της στον εαυτό της επιστρέφουσας & συγκεντρούμενης και προς εαυτήν συνελιττομένης και καθ’ εν νοερόν πέρας των όλων επικρατούσης.

Ο θείος Πρόκλος για την μεν μαθηματική έννοια «κύκλος» λέγει αφενός ότι :

«Ο κύκλος είναι εικόνα του νοός. Γιατί μένει κατά το εντός αυτού και προχωρά κατά τις γονίμους αυτού δυνάμεις και επιστρέφει προς εαυτόν κατά την πανταχόθεν αυτόν περιλαμβάνουσα ομοίως γνώση. Και το μέν κέντρο είναι εικόνα του εν αυτώ νοητού και αμερούς και εφετού, οι δε εκ του κέντρου γραμμές απεικονίζουν τις άπειρες του νοός δυνάμεις, μέσω των οποίων παράγει πάν το εν αυτώ πλήθος των νοητών. Η δε περιφέρεια, μέσω της οποίας συνελλίσεται πάλιν στο κέντρο και περιπτύσσεται πανταχόθεν αυτό, τις νοήσεις τις στο εν και το νοητό επιστραμμένες.»[12]

Αφετέρου ο Πρόκλος επεξηγεί ότι :

«Το πρώτιστο, απλούστατο και τελειότατο σχήμα είναι ο κύκλος. Γιατί υπερέχει από τα στερεά, επειδή έχει την ύπαρξή του εν απλουστέρα βαθμίδα, ενώ λόγω της ομοιότητας και της ταυτότητά του έλαβε την υπεροχή και ως προς τα σχήματα που λαμβάνουν υπόσταση εντός των επιπέδων. Και είναι σχήμα ανάλογο του πέρατος και της μονάδας και γενικώς της ανώτερης συστοιχίας. Γι’ αυτό και όταν αναλύεις τα εγκόσμια και τα υπερκόσμια, πάντοτε θα βρείς ότι ο κύκλος ανήκει στην θεϊκότερη φύση. Γιατί, αν διαιρείς το σύμπαν σε ουρανό και γένεσιν, θα αποδώσεις τον ουρανό στο κυκλικό είδος, τη δε γενέσει στο ευθύ, γιατί όσο εν τοις γενητοίς κυκλικό υπάρχει εντός των μεταβολών και των σχημάτων, άνωθεν από του ουρανού κατέβει. Γιατί λόγω της εκείνου κυκλικής κυκλοφορίας η γένεσις ανακυκλείται προς εαυτήν και ανάγει την ανίδρυτη παράλλαξή της σε τεταγμένη περίοδο. Αν διαιρείς σε ψυχή και νου τα ασώματα, θα πεις ότι ο κύκλος ανήκει στον νου και το ευθύ στην ψυχή. Γι΄αυτό η ψυχή λέγεται ότι περιστρέφεται κυκλικά όταν επιστρέψει στο νου. Και αυτό ακριβώς που είναι η γένεσις σε σχέση με τον ουρανό, είναι η ψυχή σε σχέση με τον νου. Γιατί ο ουρανός κινείται κυκλικά (ο Πλάτων λέει ότι μιμείται τον νου), ενώ η γένεσις της ψυχής κινείται ευθεία. Γιατί είναι ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ψυχής να πηγαίνει κάθε φορά σε διαφορετικα Είδη. Αν πάλι θέλεις να διαιρείς το σύμπαν σε σώμα και ψυχή, θα θεωρήσεις ότι κάθε σώμα μετέχεται στην του ευθέως μερίδα, ενώ κάθε ψυχή στην ταυτότητα και στην ομοιότητα του κύκλου. Γιατί το σώμα είναι σύνθετο και ποικίλο ως προς τις δυνάμεις, όπως ακριβώς τα ευθύγραμμα σχήματα, ενώ η ψυχή είναι απλή και νοητική, αυτοκινούμενη και αυτενέργητη, στραμμένη στον εαυτό της και ενεργώντας περί αυτόν, όθεν λοιπόν και ο Τίμαιος, αφού έδωσε υπόσταση στα στοιχεία του σύμπαντος μέσω των ευθυγράμμων σχημάτων, έχει αποδώσει σε αυτά την κυκλική κίνηση και διαμόρφωση εκ της εποχουμένης στον Κόσμο ψυχής. Αλλά από όσα έχουν ειπωθεί προηγουμένως είναι φανερό ότι παντού ο κύκλος έλαβε τα πρωτεία σε σχέση με τα υπόλοιπα σχήματα. Πρέπει όμως να δούμε και ολόκληρη την σειρά του κύκλου η οποία ξεκινά από ψηλά και φτάνει μέχρι των εσχάτων και τελειοποιεί τα πάντα σύμφωνα με την επιτειδιότητα των την μετουσία δεχομένων.  Στους θεούς, λοιπόν, παρέχει την επιστροφή και την ένωση προς τις αυτών αιτίες, το μένειν στον εαυτό τους και το μη εξίστασθαι της οικείας μακαριότητάς τους, προβάλλοντας τις κορυφαίες ενώσεις τους ως κέντρα εφετά από τους δεύτερους θεούς, τα δε πλήθη των εντός αυτών δυνάμεων περί εκείνα σταθερώς τα ιδρύει και δια την εκείνων απλότητα τα συνέχει. Στις νοητικές ουσίες δίνει το να ενεργούν προς τους εαυτούς διαιωνίος, παρέχοντας τους τη δυνατότητα να πληρώνονται γνώσεως από τον εαυτό τους και να έχουν συγκεντρώσει μέσα τους τα νοητά και να τελειούν από τον εαυτό τους τις νοήσεις τους. Γιατί κάθε νους προβάλλει στον εαυτό του το νοητό ως κέντρο του νοός. Ο νους συνέχει περί αυτό και ερα και ενίζεται προς αυτό τις νοητικές όλες πανταχόθεν ενέργειες. Στις δε ψυχές ο κύκλος επιλάμπει το αυτόζωο, το αυτοκίνητο, το προς νου στροφή και περιχορεύειν τον νου, την αποκατάσταση κατά τις οικείες περιόδους ανελιττούσες του νου την αμερεία. Γιατί πάλι οι νοητικές τάξεις ως κέντρα θα έχουν σε σχέση με τις ψυχές την υπεροχή, ενώ οι ψυχές θα ενεργούν περί αυτές κατά κύκλο. Και γιατί πάσα ψυχή κατά μεν το νοητικό αυτής και αυτό το εν τω ακρότατο της κεκεντρώνεται, κατά δε το πλήθος κυκλικώς περιπορεύεται, περιπτίσεται ποθούσα τον εαυτής νουΟ κύκλος παρέχει στα ουράνια σώματα την προς τον νου εξομοίωση, την ομοιότητα, την εν πέρασι των όλων περιοχή, τις εν μέτροις ωρισμένες ανακυκλήσεις, την αϊδιον υπόσταση, το άναρχον και ατελεύτητο, και όλα τα παρόμοια. Στα υποσελήνια στοιχεία παρέχει την περίοδο την εν μεταβολαίς, την προς τον ουρανό απεικασία, το εν της γενητοίς αγένητον και εν τοις κινουμένοις εστώς και εν τοις μεριστοίς ωρισμένο. Γιατί τα πάντα αεί υπάρχουν δια τον κύκλο της γενέσεως. Και το ισοκρατές εν πάσι δια την ανταπόδοση της φθοράς, γιατί αν δεν επανέρχοταν η γένεση γρήγορα η τάξη των υποσελήνιων όντων και η σύμπασα διακόσμηση. Στα ζώα και στα φυτά ο κύκλος προσδίδει την ομοιότητα κατά τις γεννήσεις. Γιατί αυτά από σπέρματα γεννιούνται και σπέρματα γενούν και η γένεση του ενός πραγματοποιείται από το άλλο και σχηματίζεται ένας κύκλος από το ατελές προς το τέλειο και αντιστρόφως, προκειμένου να υπάρχει και φθορά μαζί με την γένεση. Στα λεγόμενα αφύσικα πράγματα ο κύκλος πρσδίδει τάξη και οδηγεί σε όρια την αοριστία τους και τα τακτοποιεί. Και αυτά τα κάνει όπως πρέπει με τα τελευταία ίχνη των δυνάμεών του. Γι’ αυτό και τα αφύσικα επανέρχονται με βάση κάποιους καθορισμένους αριθμούς, και υπάρχουν όχι μόνο περίοδοι γονιμότητας αλλά και αφορίας με βάση τις περιτροπές των κύκλων, όπως λέει ο μύθος των Μουσών. Και όλα τα κακά, παρόλο που έχουν εξοριστεί από τους θεούς προς την περιοχή των θνητών, όμως και αυτά ανακυκλώνονται, λέει ο Σωκράτης, και μετέχουν και αυτά στην κυκλική περιστροφή και τάξη, προκειμένου να μην υπάρχει κανένα κακό αμιγές ή εγκατελελειμένο από τους θεούς, αλλά η πρόνοια που τελειοποιεί τα πάντα να οδηγεί την επεριόριστη ποικιλία των κακών στο όριο και στην τάξη που τους πρέπει. Άρα ο κύκλος έχει τακτοποιήσει τα πάντα για εμάς, μέχρι τις τελευταίες μεταδόσεις του, και δεν άφησε τίποτα άμοιρο από την δική του προσφορά, χορηγώντας το κάλλος, την ομοιότητα, την ειδοποιία και την τελειότητα. Γι’ αυτό και μέσα στους αριθμούς συνέχει τα μέσα κέντρα σύμπασης της ανελισσομένης προόδου των αριθμών, της από μονάδος μέχρι την δεκάδα. Γιατί η πεντάδα και η εξάδα ανάμεσα σε όλους τους αριθμούς επιδεικνύουν τη δύναμη του κύκλου, επειδή κατά τις προόδους τους επιστρέφουν πάλι στον εαυτό τους. Γιατί, όταν πολλαπλασιάζονται, καταλήγουν πάλι στον εαυτό τους. Ο πολλαπλασιασμός, λοιπον, επειδή εκτείνεται σε πλήθος, είναι εικόνα της προόδου, ενώ είναι εικόνα της επιστροφής η κατάληξη στο ίδιο είδος. Τον συνδιασμό και των δυο τον παρέχει η κυκλική δύναμη, η οποία από το μέρος που μένει σταθερό σαν κέντρο διεγείρει τις αιτίες που γεννούν το πλήθος, και μετά τις γεννήσεις συγκεντρώνει το πλήθος στα αίτια. Δυο, λοιπόν, αριθμοί στο κέντρο όλων των αριθμών κατέχουν αυτή την ιδιότητα. Και ο ένας είναι επικεφαλής ολοκλήρου του επιστρεπτικού γένους των άρρενων και της περιττού φύσεως, ενώ ο άλλος παν το θήλυ και άρτιο και της γονίμου σειράς ανακαλεί προς τις οικείες αρχές κατά την κυκλική δύναμη.»[13]

Διευκρινίζει δε ο θείος Πρόκλος ότι :

«Πάλι εκ τούτων θα αναδράμουμε στην των υποδειγμάτων θεωρία και θα νοήσουμε εν εκείνοις το μεν κέντρο εκάστου κύκλου αντίστοιχο κατά την ενιαία και αμέριστον και μόνιμον υπεροχή. Τις δε από του κέντρου διαστάσεις αντίστοιχες με τις από του ενός προόδους σε πλήθος άπειρο κατά την δύναμη, την δε περιφέρεια του εκάστου κύκλου αντίστοιχη με την επιστροφή των προέλθοντων την επι το κέντρο, κατά την οποία ελίσσονται τα πλήθη των δυνάμεων προς την των εαυτών ένωση και πάντα σε εκείνη σπεύδουν και περί εκείνη να ενεργούν ποθούν. Και όπως εν τω κύκλω υπάρχουν όλα μαζί, το κέντρο, οι διαστάσεις, η εκτός περιφέρεια, έτσι και μέσα στα υποδείγματα δεν προϋπάρχουν άλλα ή επιγίνονται άλλα κατά χρόνον, αλλά ομού μεν τα πάντα, και η μονή, και η πρόοδος και η επιστροφή. Διαφέρουν ταύτα από εκείνα στο ότι τα μεν είναι αδιαιρέτως και αδιαστάτως, τα δε διηρημένως, καθώς αλλού βρίσκεται το κέντρο, αλλού δε οι εκ του κέντρου γραμμές, αλλού δε η ορίζουσα τον κύκλο εκτός περιφέρεια. Και εκεί στα υποδείγματα εν ένι τα πάντα, είτε λάβεις το οικείο κέντρο, εν τούτω τα πάντα θα βρεις, είτε λάβεις την διασταμένη από τούτου , και αυτή έχουσα τα πάντα θα την δεις. Είτε πάρεις την επιστροφή, θα δεις το ίδιο. Και αφού, λοιπόν, δεις ότι τα πάντα βρίσκονται το ένα εντός του άλλου και αφού αφαιρέσεις την από της διαστάσεως ελάττωση και αφού απαλείψεις και την θέση αυτή εκ της οποίας προέρχεται η διαίρεση, θα βρεις τον όντως όντα κύκλο εν αυτώ προϊόντα και επιστρέφοντα, και το μεν αμερέστατο εαυτού και ενικώτατο να το ιδρύει σταθερώς, και να κινείται από τούτου κατά το ευθύ και την απειρία την εν αυτώ, συνελισσόμενο δε το εν αφ’ εαυτού και δια της ομοιότητας και της ταυτότητας ανεγειρόμενο στο αμερές της εαυτού φύσεως και το κεκρυμμένο εν αυτώ του ενός, και μόλις εγκολπωθεί και περιθέει ομοιώνεται προς αυτό και τω εαυτού πλήθος. Γιατί το επιστρέφον μιμείται το μένον, και το περιφερές είναι σαν κέντρο που έλαβε διάσταση και συγκλίνει προς τον εαυτό του σπεύδοντας να επικεντρωθεί και να γίνει εν προς αυτό, και αφού και να περατώσει την εποσροφή  σε αυτό που το οποίο έλαβε  την αρχή η πρόοδος.      Τέτοιο είναι το κέντρο παντού. Έχει λάβει την θέση του ποθητού σκοπού για όσα έλαβαν υπόσταση γύρω από αυτό, και την θέση της πηγής έναντι όλων των προόδων που έχουν λάβει πλήθος. Αυτό το κέντρο αποτυπώνεται από το μαθηματικό κέντρο το οποίο περατώνει όλες τις γραμμές που ξεκινούν από αυτό που την περιφέρεια, και τους παρέχει την ισότητα ως εικόνα της δικής του ενώσεως. Έτσι και οι Χαλδαϊκοί Χρησμοί ορίζουν το κέντρο : “ το κέντρο από το οποίο όλες οι γραμμές μέχρι την περιφέρεια είναι ίσες”.      Η αρχή μάλιστα της διαστάσως των γραμμών δηλώνεται με το “από το οποίο”, ενώ το κέντρο της περιφέρειας δηλώνεται με το “προς το οποίο”. Γιατί η περιφέρεια με το σύνολο της συγκεντρώνει προς το κέντρο.      Και αν πρέπει να πω την πρώτη αιτία την οποία εμφανίστηκε και τελειοποιήθηκε το κυκλικό σχήμα, θα αναφέρω την κορυφαία βαθμίδα των νωητικών. Γιατί το κέντρο αντιστοιχεί στην αιτία του πέρατος, οι γραμμές που ξεκινούν από αυτό και είναι από μόνες τους άπειρες ως προς το πλήθος και ως προς το μέγεθος, αποτυπώνουν το άπειρο, ενώ η γραμμή που περατώνει την απεριόριστη έκτασή τους και τη μαζεύει πάλι στο κέντρο, έχει εξομειωθεί με τον κρυφό διάκοσμο/κόσμο ο οποίος έλαβε υπόσταση από αυτές τις δυο αρχές και για τον οποίο ο Ορφέας λέει ότι κινείται κυκλικά: “Κι εκείνο κινιόταν ακούραστα σε έναν ατελείωτο κύκλο”.      Γιατί, καθώς κινείται περί το νοητό νοητώς και έχει εκείνο σαν κέντρο της κινήσεως του, δικαιολογημένα λέγεται ότι ενεργεί κυκλικά. Για αυτό και από εκείνον τον διάκοσμο προέρχεται ο τριαδικός θεός, ο οποίος περιέλαβε εν αυτώ την πρώτιστη αιτία της προόδου των ευθύγαμμων σχημάτων. Γιατί από εκεί του έδωσαν την ονομασί του οι σοφοί και οι μυστικώτατοι των θεολόγοι. Και το πρώτο ανάμεσα στα ευθύγραμμα σχήματα είναι το τρίγωνο. Τα σχήματα, λοιπόν, εμφανίζονται πρωταρχικά μέσα στις επόμενες διακοσμίσεις των θεών, αλλά λαμβάνουν υπόσταση μέσα στις εν τοις νοητοίς κρυφίους αιτίες.»[14]

Ως εκ τούτου το σύστημα των σε κύκλο 22 εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων αντιστοιχεί στις του νοός δυνάμεις, μέσω των οποίων ο νους παράγει παν το εν αυτώ πλήθος των νοητών.

Ευστάθιος Δ. Κεφάλας (Αμφικτύων) – 1/8/2019 : Ακάδημος”, αμφικτυονία Πανελλήνιας(Ορφικής) Θεολογίας & Πλατωνικής Φιλοσοφίας –  φιλοσοφομεν γνησως τε κα κανς

 


[1]  Πβλ. Arndt & Haenel 2006, σελ. 170

[2]  Πβλ. Arndt & Haenel 2006, σελίδες 175, 205

[3]  Πβλ. «The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central»

[4]  Πβλ. Bibl 187.143b.28 – 187.144a.2

[5]  Πβλ. Bibl 187.144a.4 – 187.144a.17

[6]  Βλ. Bibl 187.144a.32 – 187.144a.42

[7]  Βλ. Bibl 187.144b.1 – 187.144b.12

[8]  Βλ. Bibl 187.144b.32 – 187.144b.36

[9]  Βλ. Bibl 187.145a.5 – 187.145a.17

[10]  Βλ. Πρόκλος «Στον πρώτο Ευκλείδου στοιχείων, 103.21 – 104.21»

[11]  Βλ. Πρόκλος «Στον πρώτο Ευκλείδου στοιχείων, 107.11 – 109.4»

[12]  Βλ. Πρόκλος «Υπόμνημα στην του Πλάτωνος “Πολιτεία”, 2.46.18 – 2.46.27»

[13]  Βλ. Πρόκλος «Εις πρώτον Ευκλείδου “Στοιχείων : Όροι”, 146.24 – 151.12»

[14]  Βλ. Πρόκλος «Εις πρώτον Ευκλείδου “Στοιχείων : Όροι”, 153.12 – 156.5»